Bilancio di massa e di energia

Bilancio di massa

$$d{m}_{CR}+d{m}_e=d{m}_i⟶\frac{d{m}_{CR}}{dt}+{\dot{m}}_e-{\dot{m}}_i=0$$

In caso di flusso di massa continuo ($d{m}_{CR}/dt=0$), questa equazione si riduce a:

$${\dot{m}}_e={\dot{m}}_i$$

Bilancio di energia

$$dQ-d{W}_x-d{W}_{CS}-P_e{v}_{e}d{m}_e+P_i{v}_{i}d{m}_i=d{E}_{CR}+\left(u_e+\frac{1}{2}{C}_e^2+g_E{Z}_e\right)d{m}_e-\left(u_i+\frac{1}{2}{C}_i^2+g_E{Z}_i\right)d{m}_i$$

ovvero:

$$dQ-d{W}_x-d{W}_{CS}=d{E}_{CR}+\left[(u_e+P_e{v}_e)+\frac{1}{2}{C}_e^2+g_E{Z}_e\right]d{m}_e-\left[(u_i+P_i{v}_i)+\frac{1}{2}{C}_i^2+g_E{Z}_i\right]d{m}_i$$

da cui possiamo definire l’entalpia specifica:

$$h=u+Pv$$

Dividendo l’equazione precedente per $dt$, e generalizzando per molteplici $TER$, otteniamo l’equazione più generica possibile:

$$\sum _r{\dot{Q}}_r-d{\dot{W}}_x-d{\dot{W}}_{CS}=\sum _{OUT}{\dot{m}}_e\left[h_e+\frac{1}{2}{C}_e^2+g_E{Z}_e\right]-\sum _{IN}{\dot{m}}_i\left[h_i+\frac{1}{2}{C}_i^2+g_E{Z}_i\right]+\frac{d{E}_{CR}}{dt}$$

Nel caso specifico di sistema e flusso stabile (${\dot{W}}_{CS}=0$ , $\frac{d{E}_{CR}}{dt}=0$ e ${\dot{m}}_e={\dot{m}}_i$) possiamo semplificarla come segue:

$$\dot{Q}-{\dot{W}}_x=\dot{m}[(h_e-h_i)+\frac{1}{2}(C_e^2-C_i^2)+g_E(Z_e-Z_i)]$$

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Riferimenti

• Kotas, T. J. 1985. The exergy method of thermal plant analysis. London; Boston: Butterworths.